Question

18．已知定义域为R的函数f（x）满足：f（3）=-6，且对任意x∈R总有f′（x）＜3，则不等式f（x）＜3x-15的解集为（　　）

• A． （-∞，4）
• B． （-∞，3）
• C． （3，+∞）
• D． （4，+∞）

Answer 1

分析 设F（x）=f（x）-（3x-15）=f（x）-3x+15，则F′（x）=f′（x）-3，由对任意x∈R总有f′（x）＜3，知F′（x）=f′（x）-3＜0，所以F（x）=f（x）-3x+15在R上是减函数，由此能够求出结果．

解答 解：设F（x）=f（x）-（3x-15）=f（x）-3x+15，
则F′（x）=f′（x）-3，
∵对任意x∈R总有f′（x）＜3，
∴F′（x）=f′（x）-3＜0，
∴F（x）=f（x）-3x+15在R上是减函数，
∵f（3）=-6，
∴F（3）=f（3）-3×3+15=0，
∵f（x）＜3x-15
∴F（x）=f（x）-3x+15＜0，
∴x＞3，
∴不等式f（x）＜3x-15的解集为{x|x＞3}，
故选：C．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，解题时，注意等价转化，属于一道中档题．