Question

7．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是A₁D上一定点且DP=2PA₁，Q是AB₁上一动点．
（1）当$\frac{AQ}{Q{B}_{1}}$等于多少时，PQ长取得最小值？并求此最小值；
（2）在条件（1）下，求证：
①PQ∥D₁B；
②PQ是异面直线A₁D、AB₁的公垂线段．

Answer 1

分析 （1）首先以A₁D₁，A₁B₁，A₁A所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出要用到的几点的坐标，可设Q（0，1-z₀，z₀）．可以判断当PQ⊥AB₁时，PQ最短，所以根据$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=0$求出Q点坐标，然后根据空间两点间距离公式求出AQ，QB₁，PQ长度即可；
（2）①求出向量$\overrightarrow{PQ}，\overrightarrow{{D}_{1}B}$的坐标，证明$\overrightarrow{PQ}∥\overrightarrow{{D}_{1}B}$即可；
②由上面可知PQ⊥AB₁，所以要证明PQ是异面直线A₁D，AB₁的公垂线，只要再证明PQ⊥A₁D，所以求出$\overrightarrow{{A}_{1}D}$，说明$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=0$即可．

解答 解：（1）分别以边A₁D₁，A₁B₁，A₁A所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系；
能确定以下几点坐标：
A（0，0，1），B₁（0，1，0），P（$\frac{1}{3}，0，\frac{1}{3}$），B（0，1，1），D₁（1，0，0），A₁（0，0，0），D（1，0，1）；
设Q（0，1-z₀，z₀），0≤z₀≤1，显然当PQ⊥AB₁时，PQ长取得最小值；
$\overrightarrow{A{B}_{1}}=（0，1，-1），\overrightarrow{PQ}=（-\frac{1}{3}，1-{z}_{0}，{z}_{0}-\frac{1}{3}）$；
∴$\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{PQ}=0$；
∴$1-{z}_{0}-{z}_{0}+\frac{1}{3}=0$；
∴${z}_{0}=\frac{2}{3}$；
∴$Q（0，\frac{1}{3}，\frac{2}{3}）$，|QA|=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，|QB₁|=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，|PQ|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∴此时$\frac{AQ}{Q{B}_{1}}=\frac{1}{2}$；
即当$\frac{AQ}{Q{B}_{1}}=\frac{1}{2}$时，PQ长取得最小值$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）证明：
①$\overrightarrow{PQ}=（-\frac{1}{3}，\frac{1}{3}，\frac{1}{3}）$=$\frac{1}{3}（-1，1，1）$，$\overrightarrow{{D}_{1}B}=（-1，1，1）$；
∴$\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{3}\overrightarrow{{D}_{1}B}$；
∴PQ∥D₁B；
②$\overrightarrow{{A}_{1}D}=（1，0，1）$；
∴$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=0$；
∴$\overrightarrow{PQ}⊥\overrightarrow{{A}_{1}D}$；
而由（1）知
PQ⊥AB₁；
∴PQ是异面直线A₁D，AB₁的公垂线．

点评 考查建立空间直角坐标系，利用向量解决立体几何问题的方法，能在空间直角坐标系中确定或设出一些点的坐标，空间两非零向量垂直的充要条件，共线向量基本定理，以及异面直线公垂线的概念．