Question

2．已知函数f（x）=ln$\frac{{e}^{x}-1}{x}$
（1）求证：x•e^x+1≥0恒成立；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=f（a_n）．求证数列{a_n}单调递减，且a_n＞0恒成立．

Answer 1

分析 （1）构造g（x）=x•e^x+1，g′（x）=e^x（x+1），求解导数，判断单调性，最值即可证明．
（2）令k（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，k′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）+1}{{x}^{2}}$，令m（x）=e^x（x-1）+1，m′（x）=e^xx，利用导数，不等式，判断单调性．
（3）判断函数h（x）=ln$\frac{{e}^{x}-1}{x}$-x=ln$\frac{{e}^{x}-1}{x{e}^{x}}$，求解最大值，证明判断ln$\frac{{e}^{x}-1}{x}$-x＜0在x＞0成立，即a_n＞0，a_n+1＜a_n．

解答 解：（1）∵函数f（x）=ln$\frac{{e}^{x}-1}{x}$
∴$\frac{{e}^{x}-1}{x}$＞0，解得：x＞0或x＜0，
令g（x）=x•e^x+1，g′（x）=e^x（x+1），
∵g′（x）=e^x（x+1）=0，x=-1
g′（x）=e^x（x+1）＞0，x＞-1，
g′（x）=e^x（x+1）＜0，x＜-1，
∴g（x）=x•e^x+1在（-∞，-1）单调递减，（-1，+∞）单调递增，
x=-1时，g（x）_min=g（-1）=1-$\frac{1}{e}$＞0，
∴x•e^x+1≥0恒成立
（2）令k（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，k′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）+1}{{x}^{2}}$，
令m（x）=e^x（x-1）+1，m′（x）=e^xx，
∵m′（x）=e^xx=0，x=0
m′（x）=e^xx＞0，x＞0
m′（x）=e^xx＜0，x＜0
∴m（x）=e^x（x-1）+1，在（-∞，0）单调递减，（0，+∞）单调递增，x=0时，m（x）最小值为m（0）=0，
∴m（x）=e^x（x-1）+1≥0，
即k′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）+1}{{x}^{2}}$＞0在（-∞，0），（0，+∞）成立，
即k（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，0在（-∞，0），（0，+∞）单调递增．
（3）∵函数f（x）=ln$\frac{{e}^{x}-1}{x}$
∴函数h（x）=ln$\frac{{e}^{x}-1}{x}$-x=ln$\frac{{e}^{x}-1}{x{e}^{x}}$，
∵x＞0，函数p（x）=ln$\frac{{e}^{x}-1}{x}$-1=ln$\frac{{e}^{x}-1}{x}$-lne^x，
∴$\frac{{e}^{x}-1}{x}$-e^x=$\frac{{e}^{x}-1-x{e}^{x}}{x}$
∵（e^x-1-xe^x）′=-xe^x＞0，x＜0，
（e^x-1-xe^x）′=-xe^x＜0，x0，
（e^x-1-xe^x）′=-xe^x=0，x=0，
∴y=e^x-xe^x-1的最大值为0，
即$\frac{{e}^{x}-x{e}^{x-1}}{x}$＜0恒成立，
$\frac{{e}^{x}-1}{x}$-e^x＜0，
ln$\frac{{e}^{x}-1}{x}$-lne^x＜0，
可判断ln$\frac{{e}^{x}-1}{x}$-x＜0在x＞0成立
即a_n＞0，a_n+1＜a_n，

点评 本题考查了导数在求解函数中的问题中的应用，多次构造函数，判断最值，单调性，属于难题．