Question

12．已知函数f（x）=2sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$-2$\sqrt{3}$sin²$\frac{x}{4}$+$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令g（x）=f（x+$\frac{π}{3}$），判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（Ⅲ）作函数在一个周期上的图象．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角函数的恒等变换可得f（x）=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$），从而求得函数f（x）的最小正周期及最值．
（2）由条件求得g（x）=2cos$\frac{x}{2}$，再根据函数的奇偶性的定义判断它的奇偶性．
（3）用五点法作函数f（x）=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$） 在一个周期上的简图．

解答 解：（1）∵函数f（x）=2sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$-2$\sqrt{3}$sin²$\frac{x}{4}$+$\sqrt{3}$=sin$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$），
故函数的最小正周期为$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π，最大值为2，最小值为-2．
（2）由于g（x）=f（x+$\frac{π}{3}$）=2sin（$\frac{x+\frac{π}{3}}{2}$+$\frac{π}{3}$）=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{2}$）=2cos$\frac{x}{2}$，故函数g（x）为偶函数．
理由是：定义域为R，关于原点对称；且g（-x）=2cos（-$\frac{x}{2}$）=2cos$\frac{x}{2}$=g（x），故g（x）为偶函数．
（3）列表：

$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{2π}{3}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{4π}{3}$	$\frac{7π}{3}$	$\frac{10π}{3}$
y	0	2	0	-2	0

作图：

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的周期性、奇偶性、最值，用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的简图，属于中档题．