Question

6．已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，又椭圆上任一点到两焦点的距离和为2$\sqrt{2}$．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得|MP|=|MQ|？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的离心率，以及椭圆上任一点到两焦点的距离和为2$\sqrt{2}$，求出a，b，c即可求椭圆的方程；
（2）设出直线方程，联立直线方程和椭圆方程，转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系进行求解．

解答 解：（1）因为离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又2a=2$\sqrt{2}$．
∴a=$\sqrt{2}$，c=1．
∴b=1，
故椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（2）①若l与x轴重合时，显然M与原点重合，即m=0符合条件，
②若直线l的斜率k≠0，
则可设l：y=k（x-1），
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则：
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}-2=0}\end{array}\right.$得x²+2k²（x²-2x+1）-2=0，
化简得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0；
即x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，即PQ的中点横坐标为：$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，代入l：y=k（x-1）可得：
PQ的中点为N（$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}，\frac{-k}{1+2{k}^{2}}$），
由于|MP|=|MQ|，得到m=$\frac{{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$
所以：m=$\frac{{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$=$\frac{1}{\frac{1}{{k}^{2}}+2}$$∈（0，\frac{1}{2}）$，
综合（1）（2）得到：m$∈（0，\frac{1}{2}）$．

点评 本题主要考查椭圆方程的求解以及直线和椭圆的位置关系的应用，利用设而不求的数学思想是解决本题的关键．