Question

18．已知函数f（x）=2mx²-2（4-m）x+1，g（x）=mx．
（Ⅰ）若f（x）＞0恒成立，求m的取值范围；
（Ⅱ）对任意实数x，f（x）与g（x）至少有一个为正数，求m的取值范围；
（Ⅲ）是否存在正数m，使得当x＞0时，不等式[f（x）-2][g（x）-1]≥0恒成立，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）对m讨论，m=0，m＞0，且判别式小于0，解不等式即可得到；
（Ⅱ）对于任一实数x，f（x）与g（x）的值至少有一个为正数，所以对m分类讨论，即m=0、m＜0、m＞0 讨论f（x）与g（x）的值的正负，求出满足题意的m的范围；
（Ⅲ）假设存在正数m，使得当x＞0时，不等式[f（x）-2][g（x）-1]≥0恒成立．讨论x≥$\frac{1}{m}$和0＜x≤$\frac{1}{m}$，结合二次函数的图象，考虑端点的函数值的符号，解不等式即可得到m=6．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得2mx²-2（4-m）x+1＞0恒成立，
当m=0时，1-8x＞0解得x＜$\frac{1}{8}$，不恒成立；
当m＞0时，判别式4（4-m）²-8m＜0，解得2＜m＜8．
即有m的取值范围为（2，8）；
（Ⅱ）当m=0时，f（x）=1-8x，g（x）=0，
m=0不符合题意；
若m＜0，在x＜0时，g（x）＞0，在x≥0时，g（x）≤0，
需要f（x）=2mx²-2（4-m）x+1＞0在[0，+∞）上恒成立．
由于m＜0，f（0）=1＞0，在[0，+∞）上f（x）递减，则f（x）＞0不恒成立；
若m＞0，在x＞0时，g（x）＞0，在x≤0时，g（x）≤0，
需要f（x）=2mx²+（4-m）x+1＞0在（-∞，0]上恒成立．
由于m＞0，f（0）=1＞0，当对称轴x=$\frac{m-4}{4m}$≥0，即有m≥4，
则在（-∞，0]上递减，则有f（x）＞0恒成立；
当对称轴x=$\frac{m-4}{4m}$＜0，$\frac{8m-4（4-m）^{2}}{8m}$＞0，即有2＜m＜4，
则有（-∞，0]上有f（x）＞0恒成立．
综上可得，m的取值范围是（2，+∞）．
（Ⅲ）假设存在正数m，使得当x＞0时，不等式[f（x）-2][g（x）-1]≥0恒成立．
即为[2mx²-2（4-m）x-1]（mx-1）≥0恒成立．
若mx≥1，即x≥$\frac{1}{m}$，则h（x）=2mx²-2（4-m）x-1≥0在x≥$\frac{1}{m}$恒成立，
由于h（0）=-1＜0，则有h（$\frac{1}{m}$）≥0，解得m≥6；
若mx≤1，即有x≤$\frac{1}{m}$，则h（x）=2mx²-2（4-m）x-1≤0在0＜x≤$\frac{1}{m}$恒成立，
由于h（0）=-1＜0，则有h（$\frac{1}{m}$）≤0，解得m≤6，
综上可得，m=6．
则存在正数m=6，使得当x＞0时，不等式[f（x）-2][g（x）-1]≥0恒成立．

点评 本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，考查分类讨论思想，转化思想，是中档题．