Question

3．已知函数g（x）=ax²-2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最小值1，最大值4，设f（x）=$\frac{g（x）}{x}$．
（1）若不等式f（2^x）-k+2≥0在x∈[-1，1]上恒成立，求实数k的范围；
（2）方程f（|2^x-1|）+k（$\frac{2}{|{2}^{x}-1|}$-3）=0有四个不同的实数解，求实数k的范围．

Answer 1

分析 （1）讨论a＞0和a＜0，判断g（x）在[2，3]上的单调性，根据单调性求g（x）的最值，从而求出a，b，并满足b＜1，从而求出a=1，b=0，这样可以得到不等式${2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}≥k$在x∈[-1，1]上恒成立，由基本不等式可求出${2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}$在[-1，1]上的最小值2，从而k≤2；
（2）根据f（x）的解析式可将原方程变成|2^x-1|²-（2+3k）|2^x-1|+1+2k=0，|2^x-1|≠0，令|2^x-1|=t，得到关于t的方程：t²-（2+3k）t+1+2k=0，根据|2^x-1|=t的图象及原方程有四个不同实数解，得到方程t²-（2+3k）t+1+2k=0在（0，1）上有两个不同实数根，结合二次函数的图象即可得到限制k的不等式组，解不等式组即得k的范围．

解答 解：g（x）的对称轴为x=1；
①若a＞0，则g（x）在[2，3]上单调递增；
∴g（x）在[2，3]上的最小值为g（2）=1+b=1，最大值为g（3）=3a+1+b=4；
∴a=1，b=0；
②若a＜0，g（x）在[2，3]上单调递减；
∴g（x）在[2，3]上的最小值为g（3）=3a+1+b=1，最大值为g（2）=1+b=4；
∴a=-1，b=3；
∵b＜1；
∴a=1，b=0；
∴g（x）=x²-2x+1；
∴$f（x）=x+\frac{1}{x}-2$；
∴不等式f（2^x）-k+2≥0在[-1，1]上恒成立，化成${2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}≥k$在x∈[-1，1]上恒成立；
∵${2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}≥2$，当x=0时取“=”；
∴${2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}$在[-1，1]上的最小值为2；
∴k≤2；
∴实数k的范围为（-∞，2]；
（2）方程$f（|{2}^{x}-1|）+k（\frac{2}{|{2}^{x}-1|}-3）=0$化为$|{2}^{x}-1|+\frac{1+2k}{|{2}^{x}-1|}-（2+3k）=0$；
即|2^x-1|²-（2+3k）|2^x-1|+1+2k=0，2^x-1≠0；
令|2^x-1|=t，则方程化为t²-（2+3k）t+（1+2k）=0，（t≠0）；
可画出t=|2^x-1|的图象如下所示：

∵原方程有四个不同的解；
∴方程t²-（2+3k）t+1+2k=0有两个不同实数根，且都在区间（0，1）上；
设h（t）=t²-（2+3k）t+1+2k，则k需满足：
$\left\{\begin{array}{l}{h（0）=1+2k＞0}\\{h（1）=-k＞0}\\{0＜\frac{2+3k}{2}＜1}\\{△=（2+3k）^{2}-4（1+2k）＞0}\end{array}\right.$；
解得$-\frac{1}{2}＜k＜-\frac{4}{9}$；
∴实数k的范围为（$-\frac{1}{2}，-\frac{4}{9}$）．

点评 考查二次函数的单调性，根据单调性求函数在闭区间上的最值，以及运用基本不等式求函数最值，能够画出函数|2^x-1|的图象，熟悉并会运用二次函数图象．