Question

15．函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在x∈（0，7π）内取到最大值和最小值，且x=π时，y有最大值2，当x=6π时，y的最小值为-2，那么函数的解析式是f（x）=2sin（$\frac{1}{5}$x+$\frac{3π}{10}$）．

Answer 1

分析 根据三角函数的性质求出A，ω和φ的值即可求出函数的解析式．

解答 解：∵x=π时，y有最大值2，当x=6π时，y的最小值为-2
∴A=2，
$\frac{T}{2}=6π-π=5π$，
即函数的周期T=10π，即T=$\frac{2π}{ω}=10π$，
解得ω=$\frac{1}{5}$，
则y=2sin（$\frac{1}{5}$x+φ），
∵x=π时，y有最大值2，
∴2sin（$\frac{1}{5}$π+φ）=2，
即sin（$\frac{1}{5}$π+φ）=1，
则$\frac{1}{5}$π+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，
即φ=$\frac{3π}{10}$+2kπ，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴当k=0时，φ=$\frac{3π}{10}$，
故函数f（x）=2sin（$\frac{1}{5}$x+$\frac{3π}{10}$）．
故答案为：f（x）=2sin（$\frac{1}{5}$x+$\frac{3π}{10}$）．

点评 本题主要考查三角函数解析式的求解，根据三角函数的性质求出A，ω和φ的值是解决本题的关键．