Question

20．若函数f（x）为定义在D上的单调函数，且存在区间[a，b]⊆D（其中a＜b），使得当x∈[a，b]时，f（x）的取值范围恰为[a，b]，则称函数f（x）是D上的正函数．若函数g（x）=x²+m是（-∞，0）上的正函数，则实数m的取值范围为（　　）

• A． （-$\frac{5}{4}$，-1）
• B． （-1，-$\frac{3}{4}$）
• C． （-$\frac{5}{4}$，-$\frac{3}{4}$）
• D． （-$\frac{3}{4}$，0）

Answer 1

分析 根据正函数的定义可知，存在区间[a，b]⊆（-∞，0），x∈[a，b]时，g（x）∈[a，b]．根据g（x）在[a，b]上的单调性即可得到$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}+m=a}\\{{a}^{2}+m=b}\end{array}\right.$，而这两式相减即可得到a+b=-1，从而得到a=-b-1，根据a＜b＜0可求出b的范围，而m=-b²-b-1，这样根据二次函数的单调性即可求出-b²-b-1的范围，从而求出m的范围．

解答 解：g（x）是（-∞，0）上的正函数；
∴存在区间[a，b]⊆（-∞，0），x∈[a，b]时，f（x）∈[a，b]；
g（x）在[a，b]上单调递减；
∴x∈[a，b]时，f（x）∈[f（b），f（a）]=[b²+m，a²+m]；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}+m=a}\\{{a}^{2}+m=b}\end{array}\right.$；
∴a²-b²=b-a；
∴a+b=-1；
∴a=-b-1；
由a＜b＜0得-b-1＜b＜0；
∴$-\frac{1}{2}＜b＜0$；
m=a-b²=-b²-b-1；
设f（b）=-b²-b-1，对称轴为b=$-\frac{1}{2}$；
∴f（b）在$（-\frac{1}{2}，0）$上单调递减；
∴$f（b）∈（f（0），f（-\frac{1}{2}））=（-1，-\frac{3}{4}）$；
∴实数m的取值范围为（-1，$-\frac{3}{4}$）．
故选：B．

点评 考查对正函数定义的理解，二次函数的单调性，以及根据函数单调性求函数的取值范围．