Question

5．数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=$\frac{1}{2}$，S_n=n²a_n-n（n-1），n=1≥2，
（1）写出S_n与S_n-1的递推关系式（n≥2），并求S_n关于n的表达式；
（2）设f_n（x）=$\frac{{S}_{n}}{n}$xⁿ⁺¹，b_n=f_n′（p）（p∈R），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）当n≥2时，S_n=n²a_n-n（n-1），把a_n=S_n-S_n-1代入化为$\frac{n+1}{n}{S}_{n}-\frac{n}{n-1}{S}_{n-1}$=1，利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）f_n（x）=$\frac{{S}_{n}}{n}$xⁿ⁺¹，${f}_{n}^{′}（x）$=$\frac{n+1}{n}{S}_{n}{x}^{n}$，可得b_n=f_n′（p）=npⁿ，对p分类讨论可得：当p=0时，当p=1时，当p≠0，1时，数列{b_n}的前n项和T_n=p+2p²+3p³+…+npⁿ，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）当n≥2时，S_n=n²a_n-n（n-1），
∴${S}_{n}={n}^{2}（{S}_{n}-{S}_{n-1}）$-n（n-1），
化为$\frac{n+1}{n}{S}_{n}-\frac{n}{n-1}{S}_{n-1}$=1，
∴数列$\{\frac{n+1}{n}{S}_{n}\}$是等差数列，首项为1，公差为1，
∴$\frac{n+1}{n}{S}_{n}$=1+n-1=n，
∴S_n=$\frac{{n}^{2}}{n+1}$．
（2）f_n（x）=$\frac{{S}_{n}}{n}$xⁿ⁺¹，${f}_{n}^{′}（x）$=$\frac{n+1}{n}{S}_{n}{x}^{n}$，
∴b_n=f_n′（p）=npⁿ，
当p=0时，数列{b_n}的前n项和T_n=0；
当p=1时，数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{n（n+1）}{2}$；
当p≠0，1时，数列{b_n}的前n项和T_n=p+2p²+3p³+…+npⁿ，
pT_n=p²+2p³+…+（n-1）pⁿ+npⁿ⁺¹，
∴（1-p）T_n=p+p²+p³+…+pⁿ-npⁿ⁺¹=$\frac{p（1-{p}^{n}）}{1-p}-n{p}^{n+1}$，
∴T_n=$\frac{p-（1+n-np）{p}^{n+1}}{（1-p）^{2}}$．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n（n+1）}{2}，p=1}\\{\frac{p-（1+n-np）{p}^{n+1}}{（1-p）^{2}}，p=0，p≠1}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、导数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．