Question

13．对于函数f（x）=x²-lnx．
（1）求其单调区间；
（2）点P是曲线y=x²-lnx上任意一点，求点P到直线y=x-2的最小距离；
（3）若g（x）=8x-7lnx-k，f（x）与g（x）两个函数图象有三个交点，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意得f（x）的定义域为x＞0，通过f′（x）即得单调区间；
（2）由题，令f′（x）=$2x-\frac{1}{x}$=1，解得x=1或$-\frac{1}{2}$（舍），此时y=1-ln1=1，即曲线上过P（1，1）的切线平行于直线y=x-2时，有最小距离d=$\frac{|1-1+2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$；
（3）令f（x）=g（x），记G（x）=-x²+8x-6lnx，讨论G′（x）即得结论．

解答 解：（1）根据题意，得f（x）的定义域为x＞0，
所以f′（x）=2x-$\frac{1}{x}$=$\frac{2}{x}（x-\frac{\sqrt{2}}{2}）（x+\frac{\sqrt{2}}{2}）$，
故当x∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）时f′（x）＜0，即在此区间内单调减；
当x∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）时f′（x）＞0，即在此区间里单调增；
（2）由题，知直线y=x-2的斜率为k=1，
令f′（x）=$2x-\frac{1}{x}$=1，得2x²-x-1=（2x+1）（x-1）=0，
解得x=1或$-\frac{1}{2}$（舍），此时y=1-ln1=1，
即曲线上过P（1，1）的切线平行于直线y=x-2时，
那么这一点到直线的距离最小，此最小距离d=$\frac{|1-1+2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$；
（3）令f（x）=g（x），即x²-lnx=8x-7lnx-k，得k=-x²+8x-6lnx，
记G（x）=-x²+8x-6lnx，令G′（x）=$-2x+8-\frac{6}{x}$=$-\frac{2（x-1）（x-3）}{x}$=0，
解得，x₁=1，x₂=3，不难判断x₁=1是极小点，x₂=3是极大点，
故G_min（x）=G（1）=-1+8=7，G_max（x）=G（3）=-9+24-6ln3=15-6ln3，
又当x→0时，G（x）→+∞，当x→+∞时，G（x）→-∞，
故要使f（x） 与g（x）两个函数的图象有三个交点，必须有：7＜k＜15-6ln3．

点评 本题考查函数的单调性，点到直线的距离，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题．