Question

4．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y²=4x的焦点F重合，且椭圆短轴的两个三等分点与焦点F构成正三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若椭圆在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA、PB分别交椭圆于另外两点A、B，求证：直线AB的斜率为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据椭圆和抛物线的焦点坐标关系即可求椭圆的方程；
（Ⅱ）联立直线和椭圆方程，利用消元法转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系，结合直线斜率公式进行化简整理即可．

解答 解：（I）抛物线y²=4x的焦点为F（1，0）
∴c=1…（1分）
∵椭圆短轴的两个三等分点与焦点F构成正三角形
∴b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$…（5分）
（II）由题意可得P（1，$\frac{3}{2}$）…（6分）
∵PA、PB是倾斜角互补的两条不同直线
∴PA、PB的斜率均存在，设PA的斜率为k，则
PA的方程为y=k（x-1）+$\frac{3}{2}$代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$得，
（3+4k²）x²+4k（3-2k）x+4（$\frac{3}{2}$-k）²-12=0…（8分）
设A（x_A，y_A），
则x_A+1=$\frac{-4k（3-2k）}{3+4{k}^{2}}=\frac{8{k}^{2}-12k}{3+4{k}^{2}}$，
即 x_A=$\frac{4{k}^{2}-12k-3}{3+4{k}^{2}}$，
y_A=k（x_A-1）$+\frac{3}{2}$=kx_A-k+$\frac{3}{2}$=…（10分）
又直线PB与PA的倾斜角互补，在上式中以-k代k，
设B（x_B，y_B），可得x_B=$\frac{4{k}^{2}+12k-3}{3+4{k}^{2}}$
y_B=-kx_B+k+$\frac{3}{2}$…（11分）
∴直线AB的斜率为k_AB=$\frac{{y}_{B}-{y}_{A}}{{x}_{B}-{x}_{A}}$=$\frac{k（2-{x}_{A}-{x}_{B}）}{{x}_{B}-{x}_{A}}$=$\frac{k[2-（\frac{4{k}^{2}+12k-3}{3+4{k}^{2}}+\frac{4{k}^{2}-12k-3}{3+4{k}^{2}}）]}{\frac{4{k}^{2}+12k-3}{3+4{k}^{2}}-\frac{4{k}^{2}-12k-3}{3+4{k}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
∴直线AB的斜率为定值$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查椭圆方程的求解以及直线斜率的计算，利用直线和椭圆方程的位置关系，利用设而不求的思想是解决本题的关键．考查学生的计算能力，综合性较强运算量较大．