Question

16．函数f（x）=x³+bx²+cx+d（b，c，d均为常数），若f（x）在x=x₁时取得极大值且x₁∈（0，1），在x=x₂时取得极小值且x₂∈（1，2），则（b+$\frac{1}{2}$）²+（c-3）²的取值范围是（　　）

• A． （5，25）
• B． （$\sqrt{5}$，5）
• C． （$\frac{37}{4}$，25）
• D． （$\frac{\sqrt{37}}{2}$，5）

Answer 1

分析 求导f′（x）=3x²+2bx+c，从而可得x₁、x₂是方程3x²+2bx+c=0的两个根，从而可得$\left\{\begin{array}{l}{f′（0）=c＞0}\\{f′（1）=3+2b+c＜0}\\{f′（2）=12+4b+c＞0}\end{array}\right.$；从而作出其可行域，而（b+$\frac{1}{2}$）²+（c-3）²的几何意义是阴影内的点与点B（-$\frac{1}{2}$，3）的距离的平方，从而求（b+$\frac{1}{2}$）²+（c-3）²的取值范围是（5，25）．

解答 解：∵f（x）=x³+bx²+cx+d，
∴f′（x）=3x²+2bx+c，
又∵f（x）在x=x₁时取得极大值且x₁∈（0，1），在x=x₂时取得极小值且x₂∈（1，2），
∴x₁、x₂是方程3x²+2bx+c=0的两个根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（0）=c＞0}\\{f′（1）=3+2b+c＜0}\\{f′（2）=12+4b+c＞0}\end{array}\right.$；
作平面区域如下，

（b+$\frac{1}{2}$）²+（c-3）²的几何意义是阴影内的点与点B（-$\frac{1}{2}$，3）的距离，
点B到直线3+2b+c=0的距离的平方为$\frac{（3-1+3）^{2}}{{2}^{2}+{1}^{2}}$=5，
由$\left\{\begin{array}{l}{3+2b+c=0}\\{12+4b+c=0}\end{array}\right.$解得，
E（-$\frac{9}{2}$，6）；
故|BE|²=（-$\frac{1}{2}$+$\frac{9}{2}$）²+（6-3）²=25；
故（b+$\frac{1}{2}$）²+（c-3）²的取值范围是（5，25）；
故选：A．

点评 本题考查了导数的综合应用及简单线性规划的应用，属于难题．