Question

11．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的两个焦点为F₁、F₂，离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，直线l与椭圆相交于A、B两点，且满足|AF₁|+|AF₂|=4$\sqrt{2}，{K_{OA}}•{K_{OB}}=-\frac{1}{2}$，O为坐标原点．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据椭圆离心率以及条件，求出a，bc的关系即可求椭圆的方程；
（Ⅱ）联立直线和椭圆方程，利用消元法转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系，结合向量数量积的坐标公式进行化简整理即可．

解答 解：（I）∵椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∵2a=|AF₁|+|AF₂|=4$\sqrt{2}$，
∴a=2$\sqrt{2}$，即c=2，则b²=4．
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=kx+m，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$
得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0；
△=8（8k²-m²+4）＞0，
x₁+x₂=$\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$，
∵k_OAk_OB=-$\frac{1}{2}$，∴$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}=-\frac{1}{2}$，
∴y₁y₂=$-\frac{1}{2}$x₁x₂=$-\frac{1}{2}$•$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，
又y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=k²•$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$+km•（$\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$）+m²=$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∴-$\frac{{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
即-（m²-4）=m²-8k²，
∴4k²+2=m²，
则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$-$\frac{{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{4{k}^{2}+2-4}{1+2{k}^{2}}=2-\frac{4}{1+2{k}^{2}}$，
∴-2=2-4≤$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$＜2，
当k=0时，（此时m²=2判别式△），即直线AB平行x轴时，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$最小值为-2．
当斜率不存在时，x₁=x₂，y₁=-y₂，k_OAk_OB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}=-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}}=-\frac{1}{2}$，
∴x₁²=2y₁²，将A坐标代入椭圆方程得y₁²=2，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的最大值为2．
综上$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的最大值为2，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的最小值为-2．

点评 本题主要考查椭圆方程的求解以及直线斜率的计算，利用直线和椭圆方程的位置关系，利用设而不求的思想是解决本题的关键．考查学生的计算能力，综合性较强运算量较大．