Question

17．若函数f（x）=$\frac{|cosx|}{sinx+3}$-m有零点，则实数m的取值范围是（　　）

• A． [0，1）
• B． [0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• C． [0，$\frac{\sqrt{2}}{4}$]
• D． （1，$\frac{\sqrt{2}}{4}$]

Answer 1

分析 转化方程$\frac{cosx}{sinx+3}$=m有解，分类当cosx≥0时，$\frac{cosx}{sinx+3}$=m，m≥0，根据有界性sin（x+θ）=$\frac{3m}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$，得出|$\frac{3m}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$|≤1，且m≥0．
当cosx＜0时，-$\frac{cosx}{sinx+3}$=m，m≥0．化简得出：sin（x+α）=$\frac{3m}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$，|$\frac{3m}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$|≤1，且m≥0，求解不等式即可．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{|cosx|}{sinx+3}$-m有零点，
∴方程$\frac{cosx}{sinx+3}$=m有解，
∴当cosx≥0时，$\frac{cosx}{sinx+3}$=m，m≥0
msinx-cosx=3m，
化简得出：sin（x+θ）=$\frac{3m}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$，
|$\frac{3m}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$|≤1，且m≥0，
求解得出m∈[0，$\frac{\sqrt{2}}{4}$]
当cosx＜0时，-$\frac{cosx}{sinx+3}$=m，m≥0．
msinx+cosx=3m，
化简得出：sin（x+α）=$\frac{3m}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$，
|$\frac{3m}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$|≤1，且m≥0，
解得出m∈[0，$\frac{\sqrt{2}}{4}$]
即实数m的取值范围是[0，$\frac{\sqrt{2}}{4}$]，
故选：C

点评 本题本考查了函数的性质，零点的求解，利用方程的有解来解决，属于中档题．