Question

9．已知实数x、y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{xy≥0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}≤4}\\{x+y-1≤0}\end{array}\right.$，则z=2x+y的取值范围是（　　）

• A． [-2$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$]
• B． [0，2]
• C． [-2$\sqrt{5}$，2]
• D． [$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，1]

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求z的取值范围．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=2x+y得y=-2x+z，
平移直线y=-2x+z，
由图象可知当直线y=-2x+z经过点A（1，0）时，直线y=-2x+z的截距最大，
此时z最大．此时z=2．
当直线y=-2x+z和圆在第三象限相切时，直线y=-2x+z的截距最小，
此时z最小．
圆心到直线2x+y-z=0距离d=$\frac{|-z|}{\sqrt{{2}^{2}+1}}=\frac{|z|}{\sqrt{5}}=2$，
即|z|=2$\sqrt{5}$，
解得z=2$\sqrt{5}$（舍）或z=-2$\sqrt{5}$，
即-2$\sqrt{5}$≤z≤2，
目标函数z=2x+y的取值范围是[-2$\sqrt{5}$，2]
故选：C．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．