Question

14．已知a_n=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）^{2}}$，T_n为{a_n}前n项和．求证：T_n＜3．

Answer 1

分析 把数列的通项公式放大，然后利用等比数列的求和公式求和后再放大得答案．

解答 证明：∵a_n=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）^{2}}$=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{2n}-2•{2}^{n}+1}＜\frac{1}{{2}^{n}-2}$$＜\frac{1}{{2}^{n-1}}$（n≥2），
∴T_n=a₁+a₂+…+a_n＜a₁+$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}$
=$2+（\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}）$=$2+\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$3-\frac{1}{{2}^{n}}＜3$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了放缩法证明数列不等式，考查了等比数列的通项公式，是中档题．