Question

9．已知函数f（x）=ax²-x+4，若函数g（x）=lgf（x）在区间[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可．

解答 解：若函数g（x）=lgf（x）在区间[1，+∞）上单调递增，
则等价为函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，且f（x）＞0，
若a=0，则f（x）=-x+4，为减函数，不满足条件．
要使函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，且f（x）＞0，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{-\frac{-1}{2a}=\frac{1}{2a}≤1}\\{f（1）=a-1+4＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a≥\frac{1}{2}}\\{a＞-3}\end{array}\right.$，解得a≥$\frac{1}{2}$，
即实数a的取值范围是[$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题主要考查函数单调性的应用，利用复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．