Question

17．已知函数f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）-3．
（1）若f（θ）=-4，θ∈[0，2π]，求θ的值；
（2）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{3π}{4}$]上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）函数y=f（x）的图象是由y=sinx如何变换得来的？

Answer 1

分析 （1）由已知解得sin（2θ-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，从而解得θ=k$π+\frac{3π}{4}$，k∈Z，结合θ的范围，即可求得θ的值．
（2）结合x 的范围求出表达式相位的范围，确定表达式的范围，求出最值，利用不等式恒成立确定m 的范围即可．
（3）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．

解答 解：（1）由f（θ）=2sin（2θ-$\frac{π}{3}$）-3=-4，可得：sin（2θ-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，解得：2θ-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{7π}{6}$，k∈Z，既有：θ=k$π+\frac{3π}{4}$，k∈Z
又因为θ∈[0，2π]，所以：θ=$\frac{3π}{4}$或$\frac{7π}{4}$．
（2）∵x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴-4≤2sin（2x-$\frac{π}{3}$）-3≤-1，
∴f（x）_max=-1，f（x）_min=-4
∵不等式|f（x）-m|＜2?f（x）-2＜m＜f（x）+2
∴|f（x）-m|＜2在x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{3π}{4}$]上恒成立?m＞f（x）_max-2且m＜f（x）_min+2
∴-3＜m＜-2，即：m的取值范围是（-3，-2）．
（3）：把函数y=sinx的图象向右边平移$\frac{π}{3}$个单位，可得函数y=sin（x-$\frac{π}{3}$）的图象，
再把所得图象上的各点的横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$倍，即可得到函数y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象；
再把所得图象上的各点的纵坐标变为原来的2倍，即可得到函数y=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象．
再把所得图象上的各点向下平移3个单位，即可得到函数y=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）-3的图象．

点评 本题主要考查了三角函数的化简，周期的求法，函数的闭区间上的最值问题，考查发现问题解决问题的能力，考查计算能力，属于常考题型，属于基本知识的考查．