Question

6．已知非零实数m使不等式|x-m|+|x+2m|≥|m||log₂|m|对一切实数x恒成立．
（Ⅰ）求实数m的取值范围M；
（Ⅱ）如果a，b∈M，求证：|$\frac{2a}{3}$+$\frac{b}{4}$|＜8．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可令x=my，代入原不等式化简整理，再由绝对值不等式的性质，可得（|y-1|+|y+2|）_min=3，再由对数函数的单调性，即可求得m的范围；
（Ⅱ）运用绝对值不等式的性质，可得|$\frac{2a}{3}$+$\frac{b}{4}$|≤|$\frac{2a}{3}$|+|$\frac{b}{4}$|，结合（Ⅰ）的结论，计算即可得证．

解答 （Ⅰ）解：由题意可令x=my，
则原不等式即为|my-m|+|my+2m|≥|m|log₂|m|，
即有|y-1|+|y+2|≥log₂|m|，
则（|y-1|+|y+2|）_min≥log₂|m|，
由于|y-1|+|y+2|≥|（y-1）-（y+2）|=3，
即有（|y-1|+|y+2|）_min=3，
则log₂|m|≤3，解得|m|≤8，
又m≠0，
则有实数m的取值范围M=[-8，0）∪（0，8]；
（Ⅱ）证明：a，b∈[-8，0）∪（0，8]，
即有0＜|a|≤8，0＜|b|≤8，
则|$\frac{2a}{3}$+$\frac{b}{4}$|≤|$\frac{2a}{3}$|+|$\frac{b}{4}$|
≤（$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{4}$）×8=$\frac{22}{3}$＜8．

点评 本题考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，主要考查绝对值不等式的性质的运用，同时考查对数不等式的解法，属于中档题和易错题．