Question

15．一个几何体的三视图如图所示，设该几何体的外接球为O，则球O的体积为（　　）

• A． $\frac{9π}{2}$
• B． $\frac{9}{16}$π
• C． $\frac{27}{16}$π
• D． $\frac{27}{32}$π

Answer 1

分析 三视图复原的几何体是底面为长、宽分别为1，2的长方形，侧棱垂直于底面的四棱锥；把它扩展为长方体，它的外接球的直径就是长方体的对角线的长，求出对角线长，即可求出外接球的体积．

解答 解：三视图复原的几何体是底面为长、宽分别为1，2的长方形，侧棱垂直于底面的四棱锥，高为2；把它扩展为长方体，则它的外接球的直径就长方体的对角线的长，
长方体的对角线长为：$\sqrt{1+4+4}$=3
所以球的半径为：R=$\frac{3}{2}$．
这个几何体的外接球的体积是：$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{9}{2}$ππ．
故选：A

点评 本题是基础题，考查几何体的外接球的问题，空间想象能力，逻辑思维能力，和计算能力，注意本题中三棱锥的外接球与长方体的外接球是同一个球．