Question

10．已知函数f（x）=x⁴+mx+5，且f′（2）=24，
（1）求m的值；
（2）求f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出导数，利用f′（2）=24，求出m；
（2）对函数求导，判断其单调区间，计算2，-2和$\root{3}{2}$的函数值比较大小．

解答 解：（1）f'（x）=（x⁴+mx+5）'=4x³+m，有f′（2）=24得到4×8+m=24，解得m=-8；
（2）由（1）得f'（x）=4x³-8＞0解得x＞$\root{3}{2}$，所以函数在（-∞，$\root{3}{2}$）为减函数，在（$\root{3}{2}$，+∞）为增函数，
所以f（x）的最小值为f（$\root{3}{2}$）=$（\root{3}{2}）^{4}-8×\root{3}{2}+5$=5-5$\root{3}{2}$，
f（2）=2⁴-8×2+5=5，f（-2）=16=16+5=37，
所以f（x）在区间[-2，2]上的最大值37，最小值5-5$\root{3}{2}$．

点评 本题考查了导数的运算以及利用导数求函数闭区间上的最值，属于基础题．