Question

6．设椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）经过点（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，直线l与C相切于点T，且交两坐标轴的正半轴于A，B两点，求△AOB面积的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据已知条件即可得到方程组：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{\frac{1}{4}}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解该方程组即得a²=4，b²=1，这样即可得到椭圆C的方程；
（Ⅱ）根据条女，设出直线l的方程为$\frac{x}{m}+\frac{y}{n}=1$，联立椭圆的方程可以消去y，从而得到关于x的方程，而由直线和椭圆相切知该方程有二重根，从而得到关于m，n的式子，并化简为$\frac{4}{{m}^{2}}+\frac{1}{{n}^{2}}=1$，由基本不等式即可得到mn≥4，所以△AOB面积的最小值便为2．

解答 解：（Ⅰ）由题可知：
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$；
∴a²=4b²；
∵椭圆C经过点（$\sqrt{3}，\frac{1}{2}$）；
∴$\frac{3}{4{b}^{2}}+\frac{\frac{1}{4}}{{b}^{2}}=1$；
∴b²=1，a²=4；
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）设直线l的方程为：
$\frac{x}{m}+\frac{y}{n}=1，（m＞0，n＞0）$；
由方程组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{m}+\frac{y}{n}=1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得：
（4n²+m²）x²-8mn²x+4m²（n²-1）=0
直线l和C相切；
∴△=64m²n⁴-16m²（4n²+m²）（n²-1）=0
化简得：4n²-m²n²+m²=0；
∴$\frac{4}{{m}^{2}}+\frac{1}{{n}^{2}}=1$；
∵$\frac{4}{{m}^{2}}+\frac{1}{{n}^{2}}≥\frac{4}{mn}$；
∴mn≥4，当$\frac{4}{{m}^{2}}=\frac{1}{{n}^{2}}=\frac{1}{2}$，即$m=2\sqrt{2}，n=\sqrt{2}$时取“=”；
∴${S}_{△AOB}=\frac{1}{2}mn≥2$；
∴△AOB的最小值为2．

点评 考查直线的截距式方程，椭圆的标准方程，椭圆的离心率的概念，直线和椭圆相切时，对应的方程组只有一个解，以及运用基本不等式求最值．