Question

18．已知双曲线与椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1共焦点，且一条渐近线方程是y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，求此双曲线方程．

Answer 1

分析 求出椭圆的焦点坐标，据双曲线的系数满足c²=a²+b²；双曲线的渐近线的方程与系数的系数的关系列出方程组，求出a，b，写出双曲线方程．

解答 解：椭圆椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，其焦点坐标为（0，±$\sqrt{7}$）
设双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）
∵椭圆与双曲线共同的焦点
∴a²+b²=7①
∵一条渐近线方程是y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$②
解①②组成的方程组得a=2，b=$\sqrt{3}$
∴双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{3}=1$．

点评 本题考查利用待定系数法求圆锥曲线的方程其中椭圆中三系数的关系是：a²=b²+c²；双曲线中系数的关系是：c²=a²+b²