Question

9．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}a{x^2}$+bx+c在x₁处取得极大值，在x₂处取得极小值，满足x₁∈（-1，0），x₂∈（0，1），则$\frac{a+2b+4}{a+2}$的取值范围是（1，3）．

Answer 1

分析 先求f′（x）=x²+ax+b，这样即可得到x₁，x₂是方程f′（x）=0的两个实数根，由韦达定理及已知的x₁，x₂的范围即可求出a，b的范围．而$\frac{a+2b+4}{a+2}=1+\frac{2b+2}{a+2}$，所以分别求出$\frac{1}{a+2}，2b+2$的范围，这样即可求出$\frac{2b+2}{a+2}$的范围，从而求得$\frac{a+2b+4}{a+2}$的取值范围．

解答 解：f′（x）=x²+ax+b；
根据极值的概念知，x₁，x₂是方程f′（x）=0的两个实数根；
∴根据韦达定理得x₁+x₂=-a，x₁x₂=b；
∵x₁∈（-1，0），x₂∈（0，1）；
∴-1＜a＜1，-1＜b＜0；
∴1＜a+2＜3，$\frac{1}{3}＜\frac{1}{a+2}＜1$，0＜2b+2＜2；
∴$0＜\frac{2b+2}{a+2}＜2$；
∴$1＜1+\frac{2b+2}{a+2}＜3$；
∴$1＜\frac{a+2b+4}{a+2}＜3$；
∴$\frac{a+2b+4}{a+2}$的取值范围是（1，3）．
故答案为：（1，3）．

点评 考查极值点的定义，函数在极值点处的导数为0，以及韦达定理，不等式的运算．