Question

14．在△ABP中，PB=2PA，AB=3，则△ABP面积的最大值为$\frac{9}{5}$．

Answer 1

分析 由条件利用三角形的面积公式求得△ABP面积S=PA²•sin∠APB，当∠APB=90°时，S取得最大值．再根据勾股定理求得PA²的值，可得结论．

解答 解：∵△ABP中，PB=2PA，AB=3，则△ABP面积为S=$\frac{1}{2}$PA•PB•sin∠APB=PA²•sin∠APB≤PA²，
故当∠APB=90°时，S取得最大值为PA²．
此时，由勾股定理可得 PA²+（2PA）²=AB²=9，∴PA²=$\frac{9}{5}$，S=PA²=$\frac{9}{5}$，
故答案为：$\frac{9}{5}$．

点评 本题主要考查三角形的面积公式，正弦函数的最值，属于中档题．