Question

19．已知正数x，y满足x+2$\sqrt{2xy}$≤λ（x+y）恒成立，则实数λ的最小值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用参数分离法转化为求函数的最值问题，利用换元法以及导数进行求解即可．

解答 解：∵不等式x+2$\sqrt{2xy}$≤λ（x+y）对一切正数x、y恒成立，
∴等价为λ≥$\frac{x+2\sqrt{2xy}}{x+y}$=$\frac{1+2\sqrt{2•\frac{y}{x}}}{1+\frac{y}{x}}$，
设y=$\frac{1+2\sqrt{2•\frac{y}{x}}}{1+\frac{y}{x}}$，
设t²=$\frac{y}{x}$，（t＞0），
则函数等价为f（t）=$\frac{1+2\sqrt{2}t}{1+{t}^{2}}$．
则函数的导数f′（t）=$\frac{2\sqrt{2}t（1+{t}^{2}）-（1+2\sqrt{2}t）2t}{（1+{t}^{2}）^{2}}$=$-\frac{-2\sqrt{2}（{t}^{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}t-1）}{（1+{t}^{2}）^{2}}$，
由f′（t）=0，解得t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则当t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，函数f（x）取得极大值同时也是最大值，
则f（t）=f（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{1+2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}{1+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}=2$，
∴λ≥2．
故λ的最小值为2．
故选B．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法以及换元法，转化为求函数的最值是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．