Question

1．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，△ABC是等边三角形，D是AC的中点．
（1）证明：平面C₁BD⊥平面A₁ACC₁；
（2）若E为线段AB₁上的动点，证明：三棱锥E-BC₁D的体积为定值．

Answer 1

分析 （1）证明平面C₁BD⊥平面A₁ACC₁，可利用面面垂直的判断，证明平面C₁BD经过平面A₁ACC₁的一条垂线，由等腰三角形中线性质得BD垂直AC，再由已知AA₁⊥底面ABC，得BD垂直AA₁，然后利用线面垂直的判断得BD⊥平面A₁ACC₁，则结论得到证明；
（2）证明AB₁∥平面E-BC₁D，说明线段AB₁上的动点E到底面BC₁D的距离为定值，则结论得证．

解答 证明：（1）如图，
∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，∴BD垂直AC，
∵AA₁⊥底面ABC，∴BD垂直AA₁，
又AA₁∩AC=A，∴BD⊥平面A₁ACC₁，
∵BD?平面C₁BD，
∴平面C₁BD⊥平面A₁ACC₁；
（2）连接B₁C，交BC₁于O，
连接OD，则OD∥AB₁，
∴AB₁∥平面BC₁D，
又E为线段AB₁上的动点，∴E到平面BC₁D的距离相等，
∴三棱锥E-BC₁D的体积为定值．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．