Question

13．已知函数f（x）=x²+（a-4）x+3-a．
（1）若f（x）在区间[0，1]上不单调，求a的取值范围；
（2）若对于任意的a∈（0，4），存在x₀∈[0，2]，使得|f（x₀）|≥t，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导f′（x）=2x+（a-4），从而可得f′（0）•f′（1）=（a-4）（2+a-4）＜0，从而解得；
（2）易知f（x）=x²+（a-4）x+3-a的对称轴为x=$\frac{4-a}{2}$∈（0，2），故函数f（x）在[0，$\frac{4-a}{2}$]上是减函数，在[$\frac{4-a}{2}$，2]上是增函数；从而化对于任意的a∈（0，4），存在x₀∈[0，2]，使得|f（x₀）|≥t为
对于任意的a∈（0，4），|f（0）|≥t或|f（2）|≥t或|f（$\frac{4-a}{2}$）|≥t有一个成立即可，即{|f（0）|，|f（2）|，|f（$\frac{4-a}{2}$）|}_max≥t即可，再由f（1）=0知∴{|f（0）|，|f（2）|，|f（$\frac{4-a}{2}$）|}_max={|f（0）|，|f（2）|}_max，从而解得．

解答 解：（1）∵f（x）=x²+（a-4）x+3-a，
∴f′（x）=2x+（a-4），
又∵f（x）在区间[0，1]上不单调，
∴f′（0）•f′（1）
=（a-4）（2+a-4）＜0，
即2＜a＜4，
即a的取值范围为（2，4）；
（2）f（x）=x²+（a-4）x+3-a的对称轴为x=$\frac{4-a}{2}$，
又∵a∈（0，4），∴$\frac{4-a}{2}$∈（0，2），
∴函数f（x）=x²+（a-4）x+3-a在[0，$\frac{4-a}{2}$]上是减函数，
在[$\frac{4-a}{2}$，2]上是增函数，
故对于任意的a∈（0，4），存在x₀∈[0，2]，使得|f（x₀）|≥t可化为
对于任意的a∈（0，4），|f（0）|≥t或|f（2）|≥t或|f（$\frac{4-a}{2}$）|≥t有一个成立即可，
即{|f（0）|，|f（2）|，|f（$\frac{4-a}{2}$）|}_max≥t即可，
又∵f（1）=0，
∴{|f（0）|，|f（2）|，|f（$\frac{4-a}{2}$）|}_max={|f（0）|，|f（2）|}_max，
故{|f（0）|，|f（2）|，|f（$\frac{4-a}{2}$）|}_max=$\left\{\begin{array}{l}{3-a，0＜a≤2}\\{a-1，2＜a＜4}\end{array}\right.$，
故$\left\{\begin{array}{l}{3-a，0＜a≤2}\\{a-1，2＜a＜4}\end{array}\right.$的最小值为1，
故1≥t即可，
故t的取值范围为（-∞，1]．

点评 本题考查了导数的综合应用及二次函数的性质与应用，同时考查了恒成立问题与存在性问题，属于难题．