Question

2．已知过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的右焦点F且垂直实轴的直线与双曲线的两个交点分别为A、B，如果A、B与双曲线的左焦点构成等边三角形，则该双曲线的渐近线方程为（　　）

• A． y=±2x
• B． y=±$\sqrt{2}$x
• C． y=±$\sqrt{3}$x
• D． y=±$\frac{1}{2}$x

Answer 1

分析 由△AF₁B是等边三角形，得到2c=$\sqrt{3}$•$\frac{{b}^{2}}{a}$，求出该双曲线的离心率，即可求出双曲线的渐近线方程．

解答 解：不妨设A（c，y₀）其中y₀＞0，c为双曲线的半焦距，将点P（c，y₀）代入双曲线得到：y₀=$\frac{{b}^{2}}{a}$
由△AF₁B是等边三角形，得到2c=$\sqrt{3}$•$\frac{{b}^{2}}{a}$
所以$\sqrt{3}$（c²-a²）=2ac
所以整理得：$\sqrt{3}{e}^{2}-2e-\sqrt{3}=0$
解得：e=$\sqrt{3}$或-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（负值舍去）
所以c=$\sqrt{3}$a，b=$\sqrt{2}$a，
所以该双曲线的渐近线方程为y=$±\sqrt{2}$x，
故选：B．

点评 本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，比较基础．