Question

15．已知椭圆C的中心在坐标原点，左焦点为F₁，右焦点为F₂（1，0），A、B是椭圆C的左、右顶点，D是椭圆C上异于 A、B的动点，且△AD B面积的最大值为2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若线段PQ是椭圆过点F₂的弦，且$\overrightarrow{P{F_2}}=λ\overrightarrow{{F_2}Q}$，求△PF₁Q内切圆面积最大时实数λ的值．

Answer 1

分析 （I）通过△ADB面积的最大值为$\frac{1}{2}×2ab=2\sqrt{3}$，及右焦点F₂（1，0），可得关于a、b的关系式，从而可得椭圆C的方程；
（II）分类讨论，确定当直线PQ与x轴垂直时${S}_{△P{F}_{1}Q}$最大，进而可求△PF₁Q内切圆面积最大时实数λ的值．

解答 解：（I）根据题意，△ADB面积的最大值为$\frac{1}{2}×2ab=2\sqrt{3}$，
∵右焦点为F₂（1，0），∴a²=b²+1，∴a²=4，b²=3，
∴$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（II）显然直线PQ不与x轴重合，分两种情况讨论：
①当直线PQ与x轴垂直时，|PQ|=3，|F₁F₂|=2，${S_{△P{F_1}Q}}=3$；
②当直线PQ不与x轴垂直时，设直线PQ：y=k（x-1），k≠0，
将直线PQ方程代入椭圆C的标准方程，整理，得（3+4k²）y²+6ky-9k²=0，
显然△＞0，由韦达定理，得y₁+y₂=$\frac{-6k}{3+4{k}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{-9{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
∴${S}_{△P{F}_{1}Q}$=$\frac{1}{2}×|{F}_{1}{F}_{2}|×|{y}_{1}-{y}_{2}|$
=$\frac{1}{2}$×|F₁F₂|×$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\frac{1}{2}×2×$$\sqrt{（\frac{-6k}{3+4{k}^{2}}）^{2}-4×\frac{-9{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}}$
=12$\sqrt{\frac{{k}^{4}+{k}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}}$，
令t=3+4k²，则$t＞3，{k^2}=\frac{t-3}{4}$，
所以${S}_{△P{F}_{1}Q}$=12$\sqrt{\frac{（\frac{t-3}{4}）^{2}+\frac{t-3}{4}}{{t}^{2}}}$
=12$\sqrt{\frac{{t}^{2}-2t-3}{16{t}^{2}}}$
=3$\sqrt{1-\frac{2}{t}-\frac{3}{{t}^{2}}}$
=3$\sqrt{-3（\frac{1}{t}+\frac{1}{3}）^{2}+\frac{4}{3}}$
∵$0＜\frac{1}{t}＜\frac{1}{3}$，∴${S}_{△P{F}_{1}Q}$∈（0，3）；
综上①、②，得${S_{△P{F_1}Q}}∈（0，3]$，即当直线PQ与x轴垂直时${S_{△P{F_1}Q}}$最大，为3，
设△PF₁Q内切圆半径r，则${S_{△P{F_1}Q}}=\frac{1}{2}（|P{F_1}|+P{F_2}|+|PQ|）•r=4r≤3$，
即${r_{max}}=\frac{3}{4}$，此时直线PQ与x轴垂直，△PF₁Q内切圆面积最大，
所以，$\overrightarrow{P{F_2}}=\overrightarrow{{F_2}Q}，λ=1$．

点评 本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查分类讨论的数学思想，考查三角形面积的计算，属于中档题．