Question

5．对于任意|m|≤2的实数m，x∈（a，b），x²-mx-3＜0恒成立，求b-a的最大值．

Answer 1

分析 转化为以m为变量的函数形式，构造函数f（m）=x²-mx-3

解答 解：∵|m|≤2，∴-2≤m≤2，
则若对于任意|m|≤2的实数m，x∈（a，b），x²-mx-3＜0恒成立，
设f（m）=x²-mx-3=（-x）m+x²-3，
则等价为$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）＜0}\\{f（2）＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{2x+{x}^{2}-3＜0}\\{{x}^{2}-2x-3＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-3＜x＜1}\\{-1＜x＜3}\end{array}\right.$，解得-1＜x＜1，
∵x∈（a，b），
∴当b=1，a=-1时，b-a取得最大值为1-（-1）=2．

点评 本题主要考查不等式恒成立，转化为m为主变量是解决本题的关键．