Question

13．已知f（x）=-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx，设α∈（0，2π），f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{1}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求sinα

Answer 1

分析 首先通过三角函数的关系式的恒等变换把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用已知条件求出$sin（α+\frac{π}{3}）=\frac{1}{4}$，最后利用角的恒等变换求出结果．

解答 解：f（x）=-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx
=-$\sqrt{3}\frac{1-cos2x}{2}+\frac{sin2x}{2}$
=$sin（2x+\frac{π}{3}）-\frac{\sqrt{3}}{2}$
由于：f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{1}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以：$sin（α+\frac{π}{3}）-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则：$sin（α+\frac{π}{3}）=\frac{1}{4}$，
又：0＜α＜2π，
则：$\frac{π}{3}＜α+\frac{π}{3}＜\frac{7π}{3}$，
则：$cos（α+\frac{π}{3}）=±\frac{\sqrt{15}}{4}$，
sinα=$sin[（α+\frac{π}{3}）-\frac{π}{3}]$=sin（$α+\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$-cos（$α+\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$=$\frac{1±3\sqrt{5}}{8}$

点评 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角函数中的角的恒等变换，及相关的运算问题．主要考查学生的应用能力．