Question

2．已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，a_n+2=3a_n+1-2a_n，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 由数列递推式得到数列{a_n+1-a_n}是以1为首项，以2为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式求得${a}_{n+1}-{a}_{n}={2}^{n-1}$，然后利用累加法求得数列{a_n}的通项公式．

解答 解：由a_n+2=3a_n+1-2a_n，得
a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），
∵a₁=1，a₂=2，∴a₂-a₁=2-1=1≠0，
则数列{a_n+1-a_n}是以1为首项，以2为公比的等比数列，
则${a}_{n+1}-{a}_{n}=1×{2}^{n-1}={2}^{n-1}$，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-2+2^n-3+…+1+1=$\frac{1×（1-{2}^{n-1}）}{1-2}+1$=2^n-1．

点评 本题考查了数列递推式，考查了累加法求数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是中档题．