Question

3．已知f（x）=e^x-xe^x-1，g（x）=$\frac{f（x）}{x}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）求证：函数g（x）有最大值g（x₀），且-2＜x₀＜-1．

Answer 1

分析 （I）f′（x）=-xe^x，令f′（x）=0，得x=0，列表可得其单调性与极值；
（II））由$g（x）=\frac{f（x）}{x}$，可得由（I）知，x∈（-∞，0）时，g（x）＞0；x∈（0，+∞）时，g（x）＜0．因此我们研究g（x）在x∈（-∞，0）时的最大值即可，
$g（x）=\frac{{{e^x}-x{e^x}-1}}{x}$，可得g′（x）=$\frac{-（{x}^{2}-x+1）{e}^{x}+1}{{x}^{2}}$，设h（x）=-（x²-x+1）e^x+1，利用导数与其单调性与零点即可得出．

解答 解：（I）f′（x）=-xe^x，令f′（x）=0，得x=0，列表

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	单调递增	极大值	单调递减

∴当x=0时，函数f（x）取极大值f（0）=0，没有极小值；
（II）∵$g（x）=\frac{f（x）}{x}$，∴由（I）知，x∈（-∞，0）时，g（x）＞0；x∈（0，+∞）时，g（x）＜0．
因此我们研究g（x）在x∈（-∞，0）时的最大值即可，
$g（x）=\frac{{{e^x}-x{e^x}-1}}{x}$，
g′（x）=$\frac{-（{x}^{2}-x+1）{e}^{x}+1}{{x}^{2}}$，
设h（x）=-（x²-x+1）e^x+1，
则h′（x）=-x（x+1）e^x，
∵当x∈（-∞，-1）时，h′（x）＜0；x∈（-1，0）时，h′（x）＞0．
∴h（x）在x∈（-∞，-1）时，单调递减；x∈（-1，0）时，单调递增．
∵h（-2）=$\frac{{e}^{2}-7}{{e}^{2}}$＞0，h（-1）=$\frac{e-3}{e}$＜0，h（0）=0，
∴h（x）在x∈（-∞，0）上有唯一零点，设为x₀，则x₀∈（-2，-1），
∴当x∈（-∞，x₀）时，g′（x）=$\frac{h（x）}{{x}^{2}}$＞0，当x∈（x₀，0）时，${g}^{′}（x）=\frac{h（x）}{{x}^{2}}$＜0，
∴g（x）有最大值g（x₀），且-2＜x₀＜-1．

点评 本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、函数零点存在但是不容易解出时问题的解决方法，考查了分析问题与解决问题的能力、计算能力，属于难题．