Question

7．设a＞0，b＞0且a≠b，试比较（ab）${\;}^{\frac{a+b}{2}}$与a^bb^a的大小．

Answer 1

分析 由于这两个式子都是正数，故只要比较它们的商与1的关系即可；分类讨论，可得结论．

解答 解：由a＞0，b＞0且a≠b，（ab）${\;}^{\frac{a+b}{2}}$与a^bb^a 都是正实数，
且满足 $\frac{{（ab）}^{\frac{a+b}{2}}}{{a}^{b}{•b}^{a}}$=${a}^{\frac{a-b}{2}}$•${b}^{\frac{b-a}{2}}$=${（\frac{a}{b}）}^{\frac{a-b}{2}}$，
当a＞b＞0时，∵$\frac{a}{b}$＞1，$\frac{a-b}{2}$＞0，∴${（\frac{a}{b}）}^{\frac{a-b}{2}}$＞1，∴（ab）${\;}^{\frac{a+b}{2}}$＞a^bb^a．
当b＞a＞0时，∵$\frac{a}{b}$∈（0，1），$\frac{a-b}{2}$＜0，∴${（\frac{a}{b}）}^{\frac{a-b}{2}}$＞1，∴（ab）${\;}^{\frac{a+b}{2}}$＞a^bb^a．
综上可得，∴（ab）${\;}^{\frac{a+b}{2}}$＞a^bb^a．

点评 本题主要考查不等式的基本性质，指数函数的单调性和特殊点，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．