Question

3．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．
（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题设条件及图知，可先由线面垂直的性质证出PA⊥BD与PC⊥BD，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直即可；
（Ⅱ）由图可令AC与BD的交点为O，连接OE，证明出∠BEO为二面角B-PC-A的平面角，然后在其所在的三角形中解三角形即可求出二面角的正切值．

解答 （Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵PC⊥平面BDE，
∴PC⊥BD，又PA∩PC=P，
∴BD⊥平面PAC，
（Ⅱ）解：设AC与BD交点为O，连OE，
∵PC⊥平面BDE，
∴PC⊥平面BOE，
∴PC⊥BE．
∴∠BEO为二面角B-PC-A的平面角，
∵BD⊥平面PAC，
∴BD⊥AC，
∴四边形ABCD为正方形，又PA=1，AD=2，可得BD=AC=2$\sqrt{2}$，PC=3，
∴OC=BO=$\sqrt{2}$．
在△PAC∽△OEC中，$\frac{OE}{OC}$=$\frac{PA}{PC}$⇒$\frac{OE}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{3}$⇒OE=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
又BD⊥OE，
∴tan∠BEO=$\frac{BO}{OE}$=3．
∴二面角B-PC-A的平面角的正切值为：3．

点评 本题考查二面角的平面角的求法及线面垂直的判定定理与性质定理，属于立体几何中的基本题型，二面角的平面角的求法过程，作，证，求三步是求二面角的通用步骤，要熟练掌握．