Question

3．已知函数f（x）=x+ax²+blnx．
（1）若函数f（x）在x=1处取得极小值2，求a，b的值；
（2）若曲线y=f（x）过点P（1，0），且在点P处的切线斜率为2，证明：f（x）≤2x-2．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，由题意可得f′（1）=0，f（1）=2，解方程即可得到a，b；
（2）求出导数，求得切线的斜率，由题意可得f（1）=0，f′（1）=2，解方程可得a，b，再设g（x）=2x-2-f（x）=x²+x-2-3lnx，（x＞0），求出导数，求得单调区间，可得极小值、最小值，即可得证．

解答 （1）解：函数f（x）=x+ax²+blnx的导数为f′（x）=1+2ax+$\frac{b}{x}$，
由函数f（x）在x=1处取得极小值2，
则f′（1）=0，f（1）=2，
即为1+2a+b=0，1+a=2，
解得a=1，b=-3；
（2）证明：若曲线y=f（x）过点P（1，0），
则1+a=0，可得a=-1，
由于在点P处的切线斜率为2，
则1+2a+b=2，
可得b=3，
即有f（x）=x-x²+3lnx，
令g（x）=2x-2-f（x）=x²+x-2-3lnx，（x＞0），
则g′（x）=2x+1-$\frac{3}{x}$=$\frac{（2x+3）（x-1）}{x}$，
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）递增；当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递减．
则x=1处g（x）取得极小值，也为最小值，且为0．
则有g（x）≥0，
即有f（x）≤2x-2．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，同时考查构造函数，运用导数求极值、最值的方法，属于中档题．