Question

8．三角形两边之和为10，其夹角的余弦是方程2x²-3x-2=0的根，求这三角形周长的最小值及面积的最大值．

Answer 1

分析 求出已知方程的解得到夹角C的余弦值，根据a+b=10，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出ab的最大值，进而求出c的最小值，得出周长的最小值，求出面积的最大值即可．

解答 解：方程2x²-3x-2=0，
变形得：（2x+1）（x-2）=0，
解得：x=-$\frac{1}{2}$或x=2，
∴夹角的余弦值为-$\frac{1}{2}$，
∵三角形两边之和为10，设a+b=10，cosC=-$\frac{1}{2}$，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²+ab=（a+b）²-ab=100-ab，
∵ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²=25，即100-ab≥75，
∴c≥5$\sqrt{3}$，即a+b+c≥10+5$\sqrt{3}$，
∴三角形周长的最小值为10+5$\sqrt{3}$；
∵ab≤25，sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{25\sqrt{3}}{4}$，即面积的最大值为$\frac{25\sqrt{3}}{4}$．

点评 此题考查了余弦定理，基本不等式的运用，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．