Question

18．已知底面为正三角形的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，D、E分别是A₁B₁，AA₁的中点，F是AB边上的点，且FB=3AF，连接EF、DB、C₁B、C₁D．
（Ⅰ）求证：平面BC₁D⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）在线段AC上，是否存在一点M，使得平面FEM∥平面BC₁D，若存在，请找出点M的位置，并证明平面FEM∥平面BC₁D，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可证明C₁D⊥A₁B₁，又平面ABB₁A₁∩平面A₁B₁C₁=A₁B₁，可证C₁D⊥平面ABB₁A₁，即可证明平面BC₁D⊥平面ABB₁A₁．
（Ⅱ）取AB中点O，连接CO，DO，取AC中点M，连接EM，MF，可证四边形C₁DOC为平面四边形，F为线段AO中点，可证MF∥C₁D，有MF∥平面BC₁D，连接A₁O，同理可得EF∥平面BC₁D，由EF∩MF=F，EF?平面FEM，FM?平面FEM，即可证明平面FEM∥平面BC₁D．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知，平面ABB₁A₁⊥平面A₁B₁C₁，…1分
因为△A₁B₁C₁为等边三角形，且D为A₁B₁的中点，故C₁D⊥A₁B₁，…3分
因为平面ABB₁A₁∩平面A₁B₁C₁=A₁B₁，故C₁D⊥平面ABB₁A₁，…5分
因为C₁D?平面BC₁D，故平面BC₁D⊥平面ABB₁A₁…6分
（Ⅱ）当点M为线段AC的中点时，平面FEM∥平面BC₁D…7分
如图，取AB中点O，连接CO，DO，取AC中点M，连接EM，MF，
由三棱柱性质可知，四边形C₁DOC为平面四边形，
因为FB=3AF，且O为线段AB中点，故F为线段AO中点，
又M为线段AC中点，故MF∥CO，又C₁D∥CO，故MF∥C₁D，
因为MF?平面BC₁D，C₁D?平面BC₁D，故MF∥平面BC₁D，…10分
连接A₁O，同理可得EF∥平面BC₁D…11分
因为EF∩MF=F，EF?平面FEM，FM?平面FEM，
故平面FEM∥平面BC₁D…12分

点评 本题主要考查了面面垂直的判定定理和性质定理，线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，考查了转化与化归思想，空间想象能力和推论论证能力，属于中档题．