Question

6．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，侧面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB，点M是PB的中点．
（Ⅰ）求证：AM∥平面PDC
（Ⅱ）求证：平面PDC⊥平面PBC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PC的中点N，连接MN，ND，可证MN$∥BC，MN=\frac{1}{2}BC$，又AD=$\frac{1}{2}BC$，即可得AM∥ND，又AM?平面PDC，DN?平面PDC，即可证明AM∥平面PDC．
（Ⅱ）由已知可证BC⊥AM，由PA=AB，且M是PB的中点，可证AM⊥PB，由AM⊥平面PBC，且AM∥DN，可证DN⊥平面PBC，从而可证平面PDC⊥平面PBC．

解答 证明：（Ⅰ）取PC的中点N，连接MN，ND，
在Rt△ABD中，∵AB=AD=PA，∴BD=$\sqrt{2}$，∠ABD=45°，
又∠ABC=90°，∴∠DBC=45°，又∠BDC=90°，∴BC=2…2分
∵M，N分别是PB，PC的中点，∴MN$∥BC，MN=\frac{1}{2}BC$，
又∵AD=$\frac{1}{2}BC$，∴MN∥AD，MN=AD，…4分
∴AM∥ND，
又∵AM?平面PDC，DN?平面PDC，∴AM∥平面PDC…5分
（Ⅱ）∵侧面PAB⊥底面ABCD，交线为AB，在底面ABCD中，BC⊥AB，
∴BC⊥侧面PAB，又AM?侧面PAB，
∴BC⊥AM…8分
在△PAB中，PA=AB，且M是PB的中点，∴AM⊥PB，
又PB，BC?平面PBC，且PB∩BC=B，∴AM⊥平面PBC…10分
由（Ⅰ）知AM∥DN，∴DN⊥平面PBC，
又DN?平面PDC，
∴平面PDC⊥平面PBC…12分

点评 本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力、推论论证能力和转化思想，属于中档题．