Question

17．如图1所示，正方形ABCD的边长为1，E是CD上异于C，D的动点，点F在BC上，且EF与正方形ABCD的对角线BD平行，H是正方形ABCD的对角线AC与EF的交点，N是正方形ABCD两对角线的交点，现沿EF将△CEF折起到△PEF的位置，如图2，使PH⊥AH，记CE=x，V（x）表示五棱锥P-ABFED的体积．
（1）求证：BD⊥平面APH
（2）求V（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用EF∥BD，BD⊥AC，可得EF⊥AC，再利用正方体的性质、线面垂直的判定定理可得：PH⊥底面ABFED，利用面面垂直的判定定理可得平面APH⊥底面ABFED，利用性质可得：BD⊥平面APH，即可证明．
（2）由CE=x，可得CH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=PH．（0＜x＜1）．S_{五边形ABFED}=S_{正方形ABCD}-S_△CEF=1-$\frac{1}{2}{x}^{2}$．可得V（x）=$\frac{1}{3}×PH$×S_{五边形ABFED}．再利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答 （1）证明：∵EF∥BD，BD⊥AC，
∴EF⊥AC，
∴FH⊥PH，
又PH⊥AH，FH∩AH=H，
∴PH⊥底面ABFED，
∵PH?平面APH，
∴平面APH⊥底面ABFED，
又BD⊥AH，平面APH∩底面ABFED=AH，
∴BD⊥平面APH．
（2）解：∵CE=x，∴CH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=PH．（0＜x＜1）．
∵S_{五边形ABFED}=S_{正方形ABCD}-S_△CEF=${1}^{2}-\frac{1}{2}{x}^{2}$=1-$\frac{1}{2}{x}^{2}$．
∴V（x）=$\frac{1}{3}×PH$×S_{五边形ABFED}=$\frac{1}{3}x（1-\frac{1}{2}{x}^{2}）$=$\frac{1}{6}x（2-{x}^{2}）$=$\frac{1}{6}（2x-{x}^{3}）$．
∴V′（x）=$\frac{1}{6}$（2-3x²）=$\frac{1}{2}（\frac{2}{3}-{x}^{2}）$=$\frac{1}{2}（\sqrt{\frac{2}{3}}+x）（\sqrt{\frac{2}{3}}-x）$，
当$0＜x＜\sqrt{\frac{2}{3}}$时，V′（x）＞0，函数V（x）单调递增；当$\sqrt{\frac{2}{3}}＜x＜1$时，V′（x）＜0，函数V（x）单调递减．
∴当x=$\sqrt{\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$时，V（x）取得最大值$\frac{2\sqrt{6}}{37}$．

点评 本题考查了正方体的性质、线面垂直的判定定理、面面垂直的判定及其性质定理、五棱锥的体积计算公式、利用导数研究其单调性极值与最值，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．