Question

5．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上的点P到左、右两焦点F₁，F₂的距离之和为2$\sqrt{2}$，离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过右焦点F₂的直线l交椭圆于A、B两点．
（1）若y轴上一点$M（0，\frac{1}{3}）$满足|MA|=|MB|，求直线l斜率k的值；
（2）是否存在这样的直线l，使S_△ABO的最大值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$（其中O为坐标原点）？若存在，求直线l方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用椭圆的定义求出a，根据离心率，求出c，可得b，即可求椭圆的方程；
（Ⅱ）（1）设直线的方程为y=k（x-1），联立直线与椭圆方程，利用韦达定理、中点坐标公式，可得AB的中点坐标，分类讨论，利用|MA|=|MB|，可得方程，即可求直线l斜率k的值；
（2）分类讨论，求出S_△ABO，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）$|P{F_1}|+|P{F_2}|=2a=2\sqrt{2}$，∴$a=\sqrt{2}$…（1分）
∵$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴$c=\frac{{\sqrt{2}}}{2}×\sqrt{2}=1$，
∴b²=a²-c²=2-1=1…（2分）
椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$…（3分）
（Ⅱ）已知F₂（1，0），设直线的方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
联立直线与椭圆方程$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$，化简得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}}}{{1+2{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{2{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$，${y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}）-2k=\frac{-2k}{{1+2{k^2}}}$…（4分）
∴AB的中点坐标为$G（\frac{{2{k^2}}}{{1+2{k^2}}}，\frac{-k}{{1+2{k^2}}}）$…（5分）
（1）k=0时，满足条件，此时AB的中垂线为x=0；
当k≠0时，∵|MA|=|MB|，∴${k_{MG}}=\frac{{\frac{-k}{{1+2{k^2}}}-\frac{1}{3}}}{{\frac{{2{k^2}}}{{1+2{k^2}}}-0}}=\frac{{-3k-1-2{k^2}}}{{6{k^2}}}=\frac{-1}{k}$，
整理得2k²-3k+1=0，解得k=1或$k=\frac{1}{2}$…（7分）
（2）直线l斜率不存在时，直线方程为x=1，代入椭圆方程，此时y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，S_△ABO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
直线l斜率不存在时时，S_△ABO=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{{k}^{2}（{k}^{2}+1）}{4（{k}^{2}+\frac{1}{2}）^{2}}}$
∵k∈R，k≠0，∴$4{（{k^2}+\frac{1}{2}）^2}＞1$，∴${S_{△ABO}}＜\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
综上，${S_{△ABOmax}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
∴满足题意的直线存在，方程为x=1．…（14分）

点评 本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，有难度．