Question

14．设函数f（x）是定义在（-∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有3f（x）+xf′（x）＞0，则
不等式（x+2015）³f（x+2015）+27f（-3）＞0的解集（　　）

• A． （-2018，-2015）
• B． （-∞，-2016）
• C． （-2016，-2015）
• D． （-∞，-2012）

Answer 1

分析 根据条件，构造函数g（x）=x³f（x），利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数在（-∞，0）上为增函数，然后将所求不等式转化为对应函数值的关系，根据单调性得出自变量值的关系从而解出不等式即可．

解答 解：构造函数g（x）=x³f（x），g′（x）=x²（3f（x）+xf′（x））；
∵3f（x）+xf′（x）＞0，x²＞0；
∴g′（x）＞0；
∴g（x）在（-∞，0）上单调递增；
g（x+2015）=（x+2015）³f（x+2015），g（-3）=-27f（-3）；
∴由不等式（x+2015）³f（x+2015）+27f（-3）＞0得：
（x+2015）³f（x+2015）＞-27f（-3）；
∴g（x+2015）＞g（-3）；
∴x+2015＞-3，且x+2015＜0；
∴-2018＜x＜-2015；
∴原不等式的解集为（-2018，-2015）．
故选A．

点评 本题主要考查不等式的解法：利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系判断函数的单调性，然后根据单调性定义将原不等式转化为一次不等式即可．