Question

2．数列{a_n}中，a_n+1=2a_n+3，a₁=1，数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=1+b_n（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）若c_n=a_n+3，求数列{c_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用构造法转化为等比数列即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）根据等差数列的通项公式即可求数列{b_n}的通项公式；
（3）求出c_n=a_n+3，利用错位相减法即可求数列{c_n•b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）∵a_n+1=2a_n+3，a₁=1，
∴a_n+1+3=2（a_n+3），
∴数列{a_n+3}是以a₁+3=4为首项，公比q=2的等比数列，
则a_n+3=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，
即数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ⁺¹-3．
（2）∵b₁=1，b_n+1=1+b_n，
∴b_n+1-b_n=1，
即数列{b_n}的是公差d=1的等差数列，
则b_n=1+n-1=n，
即数列{b_n}的通项公式b_n=n；
（3）若c_n=a_n+3，
则c_n=a_n+3=2ⁿ⁺¹-3+3=2ⁿ⁺¹，
则c_n•b_n=n•2ⁿ⁺¹，
则数列{c_n•b_n}的前n项和T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，
则2T_n=1•2³+2•2⁴+3•2⁵+…+n•2ⁿ⁺²，
两式相减得-T_n=1•2²+2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²=$\frac{{2}^{2}（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺²=（1-2n）•2ⁿ⁺¹-4，
故T_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+4．

点评 本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，根据等比数列和等差数列的性质，以及错位相减法是解决本题的关键．