Question

7．已知函数f（x）=|2x+a|+x．
（1）当a=-2时，求不等式f（x）≤2x+1的解集；
（2）若f（x）≤|x+3|的解集包含[1，2]，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值的含义，对x讨论，分当x≥1时，当x＜1时，最后取各部分解集的并集即可；
（2）不等式f（x）≤|x+3|的解集包含[1，2]，等价于f（x）≤|x+3|在[1，2]内恒成立，由此去掉一个绝对值符号，再探究f（x）≤|x+3|的解集与区间[1，2]的关系．

解答 解：（1）当a=-2时，不等式f（x）≤2x+1即为|2x-2|≤x+1，
当x≥1时，不等式即为2x-2≤x+1，解得1≤x≤3；
当x＜1时，不等式即为2-2x≤2x+1，解得$\frac{1}{4}$≤x＜1．
即有原不等式的解集为[$\frac{1}{4}$，3]；
（2）不等式f（x）≤|x+3|的解集包含[1，2]，
等价于f（x）≤|x+3|在[1，2]内恒成立，
从而原不等式可化为|2x+a|+x≤x+3，即|2x+a|≤3，
∴当x∈[1，2]时，-a-3≤2x≤-a+3恒成立，
∴-a-3≤2且-a+3≥4，
解得-5≤a≤-1，
故a的取值范围是[-5，-1]．

点评 本题考查了含绝对值不等式的解法，一般有根据绝对值的含义和零点分段法，函数图象法等．同时考查不等式恒成立问题，注意由条件去掉一个绝对值符号，是解题的关键．