Question

19．求两条渐近线为x±2y=0且截直线x-y-3=0所得弦长为$\frac{8\sqrt{3}}{3}$的双曲线方程．

Answer 1

分析 先假设双曲线方程，再将直线代入双曲线方程，进而借助于弦长公式，即可求得双曲线方程

解答 解：设所求双曲线的方程为x²-4y²=k（k≠0），
将y=x-3代入双曲线方程得3x²-24x+k+36=0，
由韦达定理得x₁+x₂=8，x₁x₂=$\frac{k}{3}$+12，
由弦长公式得$\sqrt{1+1}$|x₁-x₂|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{64-\frac{4k}{3}-48}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
解得k=4，
故所求双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1．

点评 本题考查的重点是双曲线方程，解题的关键是利用双曲线的性质，待定系数法假设双曲线方程．