Question

9．求函数y=$\frac{1}{2}$cos²x+sinxcosx+$\frac{3}{2}$sin²x的最大值、最小值及取得最大最小值时相应的x值．

Answer 1

分析 由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式后，根据正弦函数的有界性即可求得函数的最大值、最小值及取得最大最小值时相应的x值．

解答 解：∵y=$\frac{1}{2}$cos²x+sinxcosx+$\frac{3}{2}$sin²x=$\frac{1}{2}×\frac{1+cos2x}{2}+\frac{1}{2}sin2x+\frac{3}{2}×\frac{1-cos2x}{2}$=1+$\frac{1}{2}$（sin2x-cos2x）=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）．
∴由2x-$\frac{π}{4}$=2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得：当x=k$π+\frac{3π}{8}$，k∈Z时，函数的最大值为：1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
由2x-$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z可解得：当x=k$π+\frac{7π}{8}$，k∈Z时，函数的最小值为：1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．