Question

10．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长为4，且AC₁⊥B₁C，则三棱柱的体积为（　　）

• A． 32$\sqrt{3}$
• B． $\frac{5\sqrt{3}}{3}$
• C． 23$\sqrt{3}$
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设底面边长为2a，建立空间直角坐标系，利用AC₁⊥B₁C，可得$\overrightarrow{{B}_{1}C}•\overrightarrow{A{C}_{1}}$=0，解得a即可得出．

解答 解：设底面边长为2a，建立空间直角坐标系，
则C（0，-a，4），B₁（0，a，0），C₁（0，-a，0），A（$\sqrt{3}$a，0，4）．
$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（0，-2a，4），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=$（-\sqrt{3}a，-a，-4）$．
∵AC₁⊥B₁C，
∴$\overrightarrow{{B}_{1}C}•\overrightarrow{A{C}_{1}}$=0+2a²-16=0，
解得a=2$\sqrt{2}$．
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}×（2a）^{2}$=$8\sqrt{3}$．
则三棱柱的体积V=AA₁•S_△ABC=$4×8\sqrt{3}$=32$\sqrt{3}$．
故选：A．

点评 本题考查了直三棱柱的性质及其体积计算公式、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．