Question

2．已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）求f（x）的单调区间
（2）设a=-1，求证：当x∈（1，+∞）时，f（x）+2＞0
（3）求证：$\frac{ln2}{2}$•$\frac{ln3}{3}$•$\frac{ln4}{4}$…$\frac{lnn}{n}$＜$\frac{1}{n}$（n∈N₊且n≥2）

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，然后分a=0，a＞0和a＜0分析导函数在不同区间段内的符号，由导函数的符号判断原函数的单调性；
（2）把a=-1代入函数解析式，由（1）知f（x）在（1，+∞）递增，结合f（x）＞f（1）=-2得答案；
（3）由（2）知当x∈（1，+∞）时，-lnx+x-1＞0，即x-1＞lnx，则lnn＜n-1，进一步得到0＜$\frac{lnn}{n}$＜$\frac{n-1}{n}$，然后利用累积法证得$\frac{ln2}{2}$•$\frac{ln3}{3}$•$\frac{ln4}{4}$…$\frac{lnn}{n}$＜$\frac{1}{n}$．

解答 （1）解：由f（x）=alnx-ax-3，
得f′（x）=$\frac{a}{x}-a=\frac{a（1-x）}{x}$，
1°若a=0，则f（x）=-3，函数不是单调函数，无单调区间；
2°若a＞0，则当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）上递减；
3°若a＜0，f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增．
（2）证明：∵a=-1，∴f（x）=-lnx+x-3，
由（1）知f（x）在（1，+∞）递增，
∴f（x）＞f（1）=-2，
∴f（x）+2＞0．
（3）证明：由（2）知当x∈（1，+∞）时，-lnx+x-1＞0，
∴x-1＞lnx，
∵n≥2，
∴lnn＜n-1，
∴0＜$\frac{lnn}{n}$＜$\frac{n-1}{n}$．
∴$\frac{ln2}{2}$•$\frac{ln3}{3}$•$\frac{ln4}{4}$…$\frac{lnn}{n}$＜$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{3}$•$\frac{3}{4}$…$\frac{n-1}{n}$=$\frac{1}{n}$（n∈N₊且n≥2）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性，训练了利用函数的单调性证明数列不等式，考查了学生的逻辑思维能力和灵活应变能力，属难题．